2.1. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре.

Явления, при которых периодически изменяются заряды, токи, электрические и магнитные поля, называются электромагнитными колебаниями.

Для возбуждения и поддержания электрических колебаний используется определённая система, простейшим из которых является колебательный контур.

Колебательный контур - это катушка индуктивности L, активное сопротивление R и конденсатор C, соединенные последовательно.

Колебательный контур - это электрический осциллятор, являющийся основным элементом многих радиотехнических устройств. Колебательный контур может быть линейным и нелинейным. В линейном колебательном контуре его параметры L, R, C не зависят от интенсивности колебаний, и период T не зависит от амплитуды A (свойство изохронности). В идеальном колебательном контуре (физическая модель) активное сопротивление считается пренебрежимо мало, и происходят свободные гармонические колебания.

ElectrKol.swf
рис 2.1.1 (динамический)

Рассмотрим поэтапно эти колебания.

  1. Конденсатор предварительно заряжают. В начальный момент времени t=0 между обкладками конденсатора возникает постоянное электрическое поле, энергию которого можно найти:
  2. Если конденсатор замкнуть на индуктивность L, то в ней потечёт ток, возрастающий по времени. Энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля: . Согласно закону сохранения энергии:

    (2.1.1)

    Поэтому в момент времени конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля , ток станет максимальным и станет максимальной магнитная энергия. Начиная с этого момента, ток в контуре начинает уменьшаться. Мгновенному уменьшению тока препятствует ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке, которая, согласно правилу Ленца, в этот момент времени имеет направление, совпадающее с основным током. Ток самоиндукции перезаряжает конденсатор.
  3. Заряд на конденсаторе максимален, ток равен нулю, магнитная энергия равна нулю:


    Далее процесс протекает аналогично в обратном направлении, конденсатор постепенно разряжается, энергия электрического поля убывает, а энергия магнитного поля увеличивается до значения . К этому времени t=T все параметры контура становятся такими же, как и в исходном начальном состоянии. Запишем таблицу, показывающую соответствие между величинами, характеризующими механическую и электромагнитную колебательные системы.

    Электрические Механические
    q x
    k
    L m

Согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:


Введем следующие обозначения: . Тогда мы получим выражение, аналогичное уравнению, описывающему колебания механической системы:

(2.1.2)


Это уравнение описывает затухающие колебания заряда в электрическом контуре. Если мы примем, что сопротивление R контура стремится к нулю, то в этом случае получим:

(2.1.3)


Уравнение (2.1.3) описывает свободные гармонические колебания заряда в электрическом контуре. Решение этого уравнения записывается в виде:

(2.1.4)


Используя формулу Томсона: , для частоты можно записать выражение:


Для нахождения уравнения, описывающего колебания силы тока в контуре, найдем первую производную от заряда по времени:

(2.1.5)


где .
Из (2.1.5) видно, что ток опережает по фазе колебания заряда на . Мы уже показали, что когда ток максимален, то заряд на конденсаторе равен нулю.


Если ввести обозначения , то видно, что колебания заряда и колебания напряжения происходят синфазно.

Last modified: Saturday, 2 January 2016, 9:31 PM