3.2. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение.

Если колебания точек среды гармонические, то волна соответственно тоже гармоническая. В отличие от графика колебаний, дающего зависимость одной частицы от времени, график волны дает смещение всех частичек среды от расстояния до источника.

Кратчайшее расстояние между частицами среды, колеблющимися в одинаковых фазах, называется длиной волны, или это расстояние, на которое фаза распространяется за период.

(3.2.1)


где , , - есть фазовая скорость, период и частота волны соответственно.

Геометрическое место точек, до которых доходит колебание в момент времени t, называется фронтом волны.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фазах, называется волновой поверхностью.

Волновой фронт - частный случай волновой поверхности. Если среда изотропна, то колебания распространяются во все стороны одинаково.

Для решения ряда задач необходим метод построения волнового фронта в момент времени , если известен фронт к моменту времени t. Эту задачу сформулировал Гюйгенс. Он в 1690 году сформулировал принцип, получивший впоследствии название принципа Гюйгенса:
Каждая точка среды, до которой доходит возмущение, сама является источником вторичных волн.

Принцип Гюйгенса - это рецепт построения волновых поверхностей в последующие моменты времени.

Если за начало отсчета выбрать место, где находится источник волн, который колеблется по закону

(3.2.2)


то смещение точки, которая находится на расстоянии х, запишется в виде:

(3.2.3)


Это уравнение плоской бегущей волны. Из (3.2.3) видно, что процесс распространения периодический. В общем случае уравнение бегущей волны запишется следующим образом:

(3.2.4)


где - начальная фаза волны. Будем считать также, что A = const, так как в процессе распространения волны энергия не растрачивается. Величину называют волновым вектором, где - единичный вектор нормали к волновой поверхности. Он показывает направление распространения волны. Модуль этого вектора , называется волновым числом. С учетом этого, (3.2.4) можно будет записать в виде:

(3.2.5)


Пользуясь формулой Эйлера, (3.2.5) можно записать через экспоненту

(3.2.6)


В выражении (3.2.6) физический смысл имеет только действительная часть. Если , то, дифференцируя по времени, мы получим следующее выражение: - фазовая скорость волны.

Для сферических волн смещение от времени получается равным

(3.2.7)


Из (3.2.7) следует, что даже в отсутствии поглощающей среды амплитуда уменьшается обратно пропорционально расстоянию до точки наблюдателя.

Рассмотрим две точки среды, лежащие на одной прямой, вдоль которой распространяется продольная волна. Они находятся на расстоянии х друг от друга. Тогда величина, равная - должна показывать относительную деформацию. Если , то происходит деформация растяжения, а если , то происходит сжатие.

(3.2.8)


Тогда относительная деформация

(3.2.9)


Из (3.2.9) следует, что скорость деформации среды и скорость распространения волны происходят синфазно, то есть где деформация максимальна, там и скорость максимальна. Если взять вторые производные от по х или t, мы получим:

(3.2.10)
(3.2.11)


Сравнивая (3.2.10) и (3.2.11), мы получим:

(3.2.12)


(3.2.12) есть волновое уравнение для плоской волны. В наиболее общем случае оно запишется в виде:


Введя обозначение (оператор Лапласа), можем записать


Полученное уравнение есть уравнение Даламбера.

Last modified: Sunday, 3 January 2016, 8:06 AM