4.1. Волновое уравнение для электромагнитного поля.

Если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то в окружающем заряды пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в пространстве и, следовательно, представляет собой волну. Покажем, что существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла. В случае однородной нейтральной () непроводящей (j = 0) среды с постоянными проницаемостями и


Поэтому уравнения Максвелла можно написать следующим образом:

(4.1.1)
(4.1.2)
(4.1.3)
(4.1.4)


Возьмем ротор от обеих частей уравнения (4.1.1):

(4.1.5)


Символ означает дифференцирование по координатам. Изменение последовательности дифференцирования по координатам и времени приводит к равенству


Произведя в (4.1.5) замену и подставив в получившееся уравнение значение (4.1.3) для ротора , получим

(4.1.6)


В силу (4.1.4) первый член этого выражения равен нулю. Поэтому левая часть формулы (4.1.6) представляет собой - . Таким образом, опустив слева и справа знак минус, приходим к уравнению

Мы знаем, что . Поэтому уравнению можно придать вид

(4.1.7)


Раскрыв оператор Лапласа, получим

(4.1.8)


Взяв ротор от обеих частей уравнения (4.1.3) и произведя аналогичные преобразования, придем к уравнению

(4.1.9)


Уравнения (4.1.8) и (4.1.9) неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из уравнений (4.1.1) и (4.1.3), каждое из которых содержит и , и . Уравнения (4.1.8) и (4.1.9) представляют собой типичные волновые уравнения. Всякая функция, удовлетворяющая такому уравнению, описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при производной по времени, дает фазовую скорость этой волны. Следовательно, уравнения (4.1.8) и (4.1.9) указывают на то, что электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

(4.1.10)


В вакууме (т. е. при ) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме с.

Last modified: Sunday, 3 January 2016, 8:36 AM