4.2. Плоская электромагнитная волна.

Исследуем плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в нейтральной непроводящей среде с постоянными проницаемостями и (). Направим ось х перпендикулярно к волновым поверхностям. Тогда и , а значит, и их компоненты по координатным осям не будут зависеть от координат у и z. Тогда получим

(4.2.1)
(4.2.2)
(4.2.3)
(4.2.4)


Уравнение (4.2.4) и первое из уравнений (4.2.3) показывают, что не может зависеть ни от х, ни от t. Уравнение (4.2.2) и первое из уравнений (4.2.1) дают такой же результат для . Следовательно, отличные от нуля и могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающимися на электромагнитное поле волны. Само поле волны не имеет составляющих вдоль оси х. Отсюда вытекает, что векторы и перпендикулярны к направлению распространения волны, т. е. что электромагнитные волны поперечны. В дальнейшем мы будем предполагать постоянные поля отсутствующими и полагать .

Два последних уравнения (4.2.1) и два последних уравнения (4.2.3) можно объединить в две независимые группы:

(4.2.5)
(4.2.6)


Первая группа уравнений связывает компоненты и , вторая - компоненты и . Допустим, что первоначально было создано переменное электрическое поле , направленное вдоль оси у. Согласно второму из уравнений (4.2.5) это поле создаст магнитное поле , направленное вдоль оси z. В соответствии с первым из уравнений (4.2.5) поле создаст электрическое поле , и т. д. Ни поле , ни поле при этом не возникают. Аналогично, если первоначально было создано поле , то согласно уравнениям (4.2.6) появится поле , которое возбудит поле , и т. д. В этом случае не возникают поля и . Таким образом, для описания плоской электромагнитной волны достаточно взять одну из систем уравнений (4.2.5) или (4.2.6), положив компоненты, фигурирующие в другой системе, равными нулю.

Возьмем для описания волны уравнения (4.2.5), положив. Продифференцируем первое уравнение по x, и произведем замену: . Подставив затем из второго уравнения, получим волновое уравнение для :

(4.2.7)


(мы заменили на ). Продифференцировав по х второе из уравнений (4.2.5), найдем после аналогичных преобразований волновое уравнение для :

(4.2.8)


Полученные уравнения представляют собой частный случай уравнений (4.1.8) и (4.1.9). Напомним, что и , так что и . Мы сохранили в уравнениях (4.2.7) и (4.2.8) индексы у и z при Е и Н, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что векторы и направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и z. Простейшим решением уравнения (4.2.7) является функция

(4.2.9)


Решение уравнения (4.2.8) имеет аналогичный вид:

(4.2.10)


В этих формулах - частота волны, k - волновое число, равное , и - начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0. Подставим функции (4.2.9) и (4.2.10) в уравнения (4.2.5):

Для того чтобы уравнения удовлетворялись, необходимо равенство начальных фаз и . Кроме того, должны выполняться соотношения


Перемножив эти два равенства, найдем, что

(4.2.11)


Таким образом, колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой (), а амплитуды этих векторов связаны соотношением

(4.2.12)


Для волны, распространяющейся в вакууме,

(4.2.13)


В гауссовой системе формула (4.2.12) имеет вид


Следовательно, в вакууме ( измеряется в СГСЭ-единицах, - в СГСМ-единицах). Умножив уравнение (4.2.9) на орт оси у (), а уравнение (2.20) на орт оси z (), получим уравнения плоской электромагнитной волны в векторном виде:

(4.2.14)


(мы положили ).



рис 4.2.1


На рис. 4.2.1 показана "моментальная фотография" плоской электромагнитной волны. На рисунке видно, что векторы и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. В фиксированной точке пространства векторы и изменяются со временем по гармоническому закону. Они одновременно увеличиваются от нуля, затем через 1/4 периода достигают наибольшего значения, причем, если направлен вверх, то направлен вправо (смотрим вдоль направления, по которому распространяется волна). Еще через 1/4 периода оба вектора одновременно обращаются в нуль. Затем опять достигают наибольшего значения, но на этот раз направлен вниз, а влево. И, наконец, по завершении периода колебания векторы снова обращаются в нуль. Такие изменения векторов и происходят во всех точках пространства, но со сдвигом по фазе, определяемым расстоянием между точками, отсчитанными вдоль оси х.

Last modified: Sunday, 3 January 2016, 8:38 AM